Kalkulus 2A : 03 Persamaan Diferensial Orde II

Bentuk umum :

p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebaliknya disebut non homogen.

Persamaan Differensial Biasa Linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum:

dimana a, b merupakan konstanta sebarang.

1. SOLUSI HOMOGEN
     Diketahui

     Misalkan

     Persamaannya berubah menjadi

     sebuah persamaan kuadrat.
     Jadi kemungkinan akarnya ada 3 yaitu :
     a. Akar real berbeda

         Memiliki solusi basis

         dan mempunyai solusi umum

     b. Akar real kembar

         Memiliki solusi basis

         dan mempunyai solusi umum

     c. Akar kompleks kojugate

         Memiliki solusi basis

         dan

         dan mempunyai solusi umum

     Contoh :
   

2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON HOMOGEN
Bentuk umum :

dengan

Solusi total :

Dimana Yh = solusi P D homogen
              Yp = solusi P D non homogen

Menentukan Yp
a) Metode koefisien tak tentu
b) Metode variasi parameter


3. METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Pilihlah Yp yang serupa dengan r(x), lalu substitusikan ke dalam persamaan.

Catatan :
Solusi parsial tidak boleh muncul pada solusi homogennya. Jika hal ini terjadi, kalikan solusi khususnya dengan faaktor x atau x2 sehingga tidak memuat lagi solusi homogennya.

Contoh :

4. METODE VARIASI PARAMETER
Metode ini digunakan untuk memecahkan persamaan-persamaan yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu.

Persamaan Differensial orde dua non homogen

memiliki solusi total :