Kalkulus 2A : 03 Persamaan Diferensial Orde II

Bentuk umum :

p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebaliknya disebut non homogen.

Persamaan Differensial Biasa Linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum:

dimana a, b merupakan konstanta sebarang.

1. SOLUSI HOMOGEN
     Diketahui

     Misalkan

     Persamaannya berubah menjadi

     sebuah persamaan kuadrat.
     Jadi kemungkinan akarnya ada 3 yaitu :
     a. Akar real berbeda

         Memiliki solusi basis

         dan mempunyai solusi umum

     b. Akar real kembar

         Memiliki solusi basis

         dan mempunyai solusi umum

     c. Akar kompleks kojugate

         Memiliki solusi basis

         dan

         dan mempunyai solusi umum

     Contoh :
   

2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON HOMOGEN
Bentuk umum :

dengan

Solusi total :

Dimana Yh = solusi P D homogen
              Yp = solusi P D non homogen

Menentukan Yp
a) Metode koefisien tak tentu
b) Metode variasi parameter


3. METODE KOEFISIEN TAK TENTU
Pilihlah Yp yang serupa dengan r(x), lalu substitusikan ke dalam persamaan.

Catatan :
Solusi parsial tidak boleh muncul pada solusi homogennya. Jika hal ini terjadi, kalikan solusi khususnya dengan faaktor x atau x2 sehingga tidak memuat lagi solusi homogennya.

Contoh :

4. METODE VARIASI PARAMETER
Metode ini digunakan untuk memecahkan persamaan-persamaan yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu.

Persamaan Differensial orde dua non homogen

memiliki solusi total :

Kalkulus 2A : 08 Integral Garis dan Permukaan

1. PENDAHULUAN

Generalsasi integral tentu

 dengan menganti himpunan [a,b] pada mana kita integralkan dengan himpunan dimensi dua dan tiga.Ini membawa kita ke integral lipat-dua dan lipat-tiga.

Generalisasi yang sangat berbeda diperoleh dengan menggantikan [a,b] dengan suatu kurva C. Integral yang dihasilkan disebut integral garis, yaitu

2. INTEGRAL GARIS

Misal C suatu kurva mulus dibidang, dengan persamaan pparameter

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik

B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva.

Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

Partisi dari [a,b] ini menghasilkan suatu pembagian kurva C menjadi n busur Qi-1Qi di mana Qi berpadanan terhadap ti. Andaikan

panjang busur Qi-1Qi dan |P| adalah norm partisi Q. Sekarang perhatikan jumlah riemann

Jika f tak negatif, jumlah ini mengaproksimasi luas tirai tegak melengkung pada gambar dibawah. Jika f kontinu pada suatu daerah D yang mengandung C, maka Integral garis f sepanjang C dari A ke B, adalah

Definis Integral Garis

a. Integral garis di bidang

    Misalkan persamaan parameter kurva mulus C (di bidang)

    Maka

b. Integral garis di ruang

    Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang)

    maka

3. SIFAT INTEGRAL GARIS

    a. Jika C = C1UC2U ... UCn, maka

    b. Jika -C adalah kurva C dengan arah berlawanan dengan C,  maka

     Contoh : 

     a. Hitung

         C adalah kurva

     Jawab :

     b. Hitung

         C adalah terdiri dari busur parabola

         dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal dari (1,1) ke (1,2).

     Jawab :

      Untuk C1 : (0,0) --> (1,1) , berupa busur

      Persamaan parameter C1 :

      Misalkan

      Sehingga